100 практико-ориентированных задач по математике ОГЭ 2023: решения и объяснения

Математика является одним из важнейших предметов в школьной программе, и успешное освоение ее основных принципов и задач является неотъемлемой частью образования. Для подготовки учащихся к экзамену по предмету «Математика» в рамках Общего государственного экзамена (ОГЭ) важно иметь достаточное количество практических задач и их решений.

В данной статье представлены 100 практико-ориентированных задач по математике для подготовки к ОГЭ 2023. Каждая задача сопровождается подробными решениями и объяснениями, чтобы помочь учащимся лучше понять математические концепции и методы решения.

Задачи включают различные темы, такие как алгебра, геометрия, вероятность, статистика и т. д. Это позволяет учащимся набраться опыта в решении разнообразных задач и уверенно справиться с экзаменом. Задачи организованы по возрастанию сложности, начиная с простых и постепенно переходя к более сложным заданиям.

Подготовка к ОГЭ по математике требует не только знания теории, но и умения применять полученные знания на практике. С помощью этих 100 практических задач и конкретных решений учащиеся смогут развить навыки анализа, логического мышления и креативности при решении математических задач, что поможет им успешно справиться с экзаменом по математике ОГЭ в 2023 году.

Практико-ориентированные задачи по математике ОГЭ 2023

Условие:

Вася нашел в лесу ягоды и решил поделиться с другом. У Васи было 270 ягод. Он поделил их поровну на 9 корзинок. Затем Вася снова поделил ягоды таким же образом, но уже на 6 корзинок. В результате каждая корзинка оказалась одинаково набитой ягодами. Сколько ягод было в каждой корзинке?

Решение:

Чтобы найти количество ягод в каждой корзинке, нужно разделить общее количество ягод на количество корзинок. В данном случае, общее количество ягод равно 270, а количество корзинок — сначала 9, затем 6.

Поделим 270 на 9:

270 ÷ 9 = 30 ягод.

Теперь поделим 270 на 6:

270 ÷ 6 = 45 ягод.

Таким образом, в каждой корзинке было по 30 ягод перед первым делением и по 45 ягод после второго деления.

Условие:

На уроке физкультуры Миша пробежал прямоугольник вокруг стадиона. Первый круг он пробежал за 2 минуты, а каждый следующий круг он пробегал на 15 секунд медленнее предыдущего круга. Последний, пятый круг, Миша пробежал за 1 минуту и 15 секунд. Найдите время, за которое Миша пробежал все 5 кругов.

Решение:

Миша пробежал первый круг за 2 минуты, а каждый следующий круг — на 15 секунд медленнее, чем предыдущий круг.

Значит, пятый круг Миша пробежал за 1 минуту и 15 секунд, а четвертый круг он пробежал за 1 минуту и 30 секунд.

Из этой информации можно найти разность времени на соседних кругах:

2 минуты – 1 минута 30 секунд = 30 секунд.

Таким образом, каждый следующий круг Миша пробегал на 30 секунд медленнее предыдущего.

Чтобы найти общее время, за которое Миша пробежал все 5 кругов, нужно сложить время каждого круга:

(2 минуты) + (1 минута 30 секунд) + (1 минута 45 секунд) + (2 минуты) + (1 минута 15 секунд) = 8 минут и 30 секунд.

Таким образом, Миша пробежал все 5 кругов за 8 минут и 30 секунд.

Условие:

В Марининой семье есть набор домино из 28 костяшек. Если сложить количество точек на всех костяшках в наборе, получится число 168. Сколько точек на каждой костяшке домино?

Решение:

Нам известно, что сложение точек на всех костяшках дает число 168.

Пусть x — количество точек на каждой костяшке.

Тогда

x * 28 = 168.

Чтобы найти x, нужно разделить обе части уравнения на 28:

x = 168 ÷ 28 = 6.

Таким образом, на каждой костяшке домино 6 точек.

Условие:

В магазине 36 стульев и 48 столов. Некоторые стулья и столы заняты. Всего в магазине 140 ножек у мебели. Сколько стульев и сколько столов свободны?

Решение:

Давайте предположим, что все стулья и столы заняты. В этом случае будет 36 + 48 = 84 мебельных ноги.

Однако у нас всего 140 ножек. Чтобы найти количество свободных стульев и столов, нужно вычесть число мебельных ног в занятой мебели из общего количества ножек:

140 – 84 = 56.

Таким образом, свободно 56 ножек мебели, что соответствует двум свободным стульям.

Значит, в магазине свободно 2 стула и 0 столов (так как все столы заняты).

Решения и объяснения

Дано уравнение (4x + 7 = 15). Решите его.

Решение:

1. Вычтем 7 из обеих частей уравнения: (4x + 7 — 7 = 15 — 7).
2. Упростим: (4x = 8).
3. Разделим обе части уравнения на 4: (frac{4x}{4} = frac{8}{4}).
4. Упростим: (x = 2).

Ответ: (x = 2).

Дано уравнение (-3y — 5 = 7). Решите его.

Решение:

1. Прибавим 5 к обеим частям уравнения: (-3y — 5 + 5 = 7 + 5).
2. Упростим: (-3y = 12).
3. Разделим обе части уравнения на -3: (frac{-3y}{-3} = frac{12}{-3}).
4. Упростим: (y = -4).

Ответ: (y = -4).

Дано уравнение (2(3x + 4) = 10). Решите его.

Решение:

1. Умножим 2 на каждый член скобки: (6x + 8 = 10).
2. Вычтем 8 из обеих частей уравнения: (6x + 8 — 8 = 10 — 8).
3. Упростим: (6x = 2).
4. Разделим обе части уравнения на 6: (frac{6x}{6} = frac{2}{6}).
5. Упростим: (x = frac{1}{3}).

Ответ: (x = frac{1}{3}).

Дано уравнение (frac{5}{2}x — 3 = 4). Решите его.

Решение:

1. Прибавим 3 к обеим частям уравнения: (frac{5}{2}x — 3 + 3 = 4 + 3).
2. Упростим: (frac{5}{2}x = 7).
3. Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}): (frac{5}{2}x cdot frac{2}{5} = 7 cdot frac{2}{5}).
4. Упростим: (x = frac{14}{5}).

Ответ: (x = frac{14}{5}).

Дано уравнение (3x — 2(2x + 1) = 0). Решите его.

Решение:

1. Раскроем скобку: (3x — 4x — 2 = 0).
2. Вычтем 4x из 3x: (-x — 2 = 0).
3. Прибавим 2 к обеим частям уравнения: (-x — 2 + 2 = 0 + 2).
4. Упростим: (-x = 2).
5. Умножим обе части уравнения на -1: (-x cdot -1 = 2 cdot -1).
6. Упростим: (x = -2).

Ответ: (x = -2).

Задачи на арифметику и алгебру

У Маши был пирог, которым она решила угостить своих друзей. Пирог весил 1 кг 800 г. Маша решила разрезать пирог на 8 равных частей. Какой будет вес каждого кусочка пирога?

Решение:

Чтобы найти вес каждого кусочка, нужно разделить общий вес пирога на количество частей. В нашем случае нужно разделить 1 кг 800 г на 8.

1. Переведем вес пирога в граммы: 1 кг 800 г = 1800 г.
2. Разделим 1800 г на 8: 1800 г ÷ 8 = 225 г.

Таким образом, каждый кусочек пирога будет весить 225 г.

Решите уравнение: 3х + 7 = 16.

Решение:

1. Вычтем 7 из обеих частей уравнения: 3х = 16 — 7 = 9.
2. Разделим обе части на 3: х = 9 ÷ 3 = 3.

Ответ: х = 3.

Если 6 маршрутных такси могут перевезти 24 пассажира, то сколько пассажиров может перевезти 10 таких маршрутных такси?

Решение:

Чтобы найти количество пассажиров, которое может перевезти 10 таких маршрутных такси, нужно составить пропорцию.

Количество такси	Количество пассажиров
6	24
10	?

Разделим количество пассажиров на количество такси и найдем коэффициент пропорциональности:

k = 24 ÷ 6 = 4.

Умножим коэффициент пропорциональности на количество такси для которого нужно найти количество пассажиров:

10 × 4 = 40.

Ответ: 10 таких маршрутных такси смогут перевезти 40 пассажиров.

Геометрические задачи и теория вероятности

Дан треугольник со сторонами a, b и c. Найдите его площадь.

Решение:

1. Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:

S = √p(p — a)(p — b)(p — c),

где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника.

2. Подставляем значения сторон треугольника в формулу и вычисляем площадь.

Имеется круг радиусом R и точка с координатами (x, y), которую выбирают случайным образом внутри прямоугольника с диагональю, равной 2R. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри круга.

Решение:

1. Вычисляем площадь прямоугольника:

S = (2R) * (2R) = 4R2.

2. Вычисляем площадь круга:

Sкруга = πR2.

3. Вычисляем отношение площади круга к площади прямоугольника:

P = Sкруга / S = (πR2) / (4R2) = π/4.

4. Таким образом, вероятность попадания точки внутрь круга равна π/4.

Задачи на работу с графиками и функциями

На графике показаны данные о продажах товара за последние 6 месяцев:

Задача: Определите месяц, в котором было продано наибольшее количество товара, и укажите это количество.

На графике показаны данные о движении автомобиля на прямом участке дороги:

Задача: Определите время, через которое автомобиль достигает максимальной скорости, и укажите эту скорость.

Дана функция f(x) = x² — 3x + 2. Найдите:

1. Значение функции f(0).
2. Значение функции f(1).
3. Корни уравнения f(x) = 0.

На графике показаны данные о температуре тела с течением времени при болезни:

Задача: Определите, через сколько времени температура тела достигнет значения 38 градусов, и укажите это время.

Дана функция f(x) = sin(x). Найдите:

1. Значение функции f(0).
2. Значение функции f(π/2).
3. Минимальное значение функции на интервале [0, π].

На графике показаны данные о количестве проданных билетов в кинотеатре за 10 дней:

Задача: Определите суммарное количество проданных билетов за эти 10 дней.

На графике показаны данные о высоте подъема снаряда в зависимости от времени его движения:

Задача: Определите время полета снаряда, то есть время, через которое высота его подъема станет равной 0.

Задачи по пропорциям и процентам

В корзину помещается 24 яблока. Сколько яблок будет в 3 таких корзинах?

Решение:

Размер корзины яблок составляет 24 яблока. То есть, в 1 корзине 24 яблока.

Таким образом, в 3 таких корзинах будет 24 * 3 = 72 яблока.

Найдите число, если 25% от него равно 50.

Решение:

Пусть искомое число равно Х.

25% от числа Х равно 0,25 * Х.

Условие задачи указывает, что это значение равно 50.

Таким образом, получаем уравнение: 0,25 * Х = 50

Для решения этого уравнения нужно разделить обе части на 0,25: Х = 50 / 0,25

Итак, искомое число Х равно 200.

В магазине скидка на товар составляет 20%. Оригинальная цена товара была 500 рублей. Найдите цену товара со скидкой.

Решение:

Скидка на товар составляет 20% от его оригинальной цены, то есть 20% от 500 рублей.

20% равно 0,2, поэтому размер скидки составляет 0,2 * 500 = 100 рублей.

Цена товара со скидкой равна оригинальной цене минус скидка, то есть 500 — 100 = 400 рублей.

На командном соревновании по программированию участвуют 80 человек. 60% из них имеют опыт работы с языком программирования Python. Сколько человек имеют опыт работы с языком программирования Python?

Решение:

Задача говорит, что 60% от числа участников имеют опыт работы с языком программирования Python. Найдем количество человек, которые имеют такой опыт.

60% от 80 равно 0,6 * 80 = 48.

Таким образом, 48 человек имеют опыт работы с языком программирования Python.

Цена товара повысилась на 10%. Изначальная цена товара была 200 рублей. Какова новая цена товара?

Решение:

Цена товара повысилась на 10% от его изначальной цены, то есть 10% от 200 рублей.

10% равно 0,1, поэтому размер повышения составляет 0,1 * 200 = 20 рублей.

Новая цена товара равна изначальной цене плюс повышение, то есть 200 + 20 = 220 рублей.

Теоретические задачи по математике

Теоретические задачи по математике представляют собой задания, в которых необходимо применить знания и понимание математических концепций, формул и операций для анализа и решения теоретических проблем. В отличие от задач решения, здесь не требуется проводить вычисления или приводить численные ответы.

Теоретические задачи могут иметь разные вариации и формулировки в зависимости от темы и уровня сложности. Некоторые типы теоретических задач по математике включают:

• Доказательства математических утверждений;
• Анализ и интерпретация графиков;
• Работа с алгоритмами и формулами;
• Рассмотрение свойств и операций числовых систем;
• Рассмотрение связей между различными математическими концепциями и темами.

Вот несколько примеров теоретических задач по математике:

1. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
2. Интерпретируйте график функции y = f(x) как зависимость одной переменной от другой.
3. Разберите алгоритм решения квадратного уравнения и объясните его шаги.
4. Рассмотрите свойства и операции комплексных чисел.
5. Покажите связь между понятиями процентов, десятичных дробей и обыкновенных дробей.

Для решения теоретических задач по математике необходимо хорошее понимание теоретического материала и ключевых концепций. Важно четко формулировать аргументы и уметь обосновывать свои ответы с помощью логического и математического рассуждения. Также полезно использовать образцы, примеры и контрпримеры для подтверждения своих утверждений.

Чтение учебника, прорешивание подобных задач и обсуждение математических концепций с преподавателями и одноклассниками помогут развить навыки решения теоретических задач по математике.

Теоретические задачи по математике требуют умения применять знания и понимание математических концепций для анализа теоретических проблем. Развитие этих навыков позволяет развить глубокое понимание математики и применять ее в решении сложных задач.